Question

【題目】已知二次函數圖象過點A（-2，0），B（4，0），C（0，4）

（1）求二次函數的解析式；

（2）如圖，當點P為AC的中點時，在線段PB上是否存在點M，使得∠BMC=90°？若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

（3）點K在拋物線上，點D為AB的中點，直線KD與直線BC的夾角為銳角，且tan=，求點K的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）線段上存在，使得，理由詳見解析；（3）拋物線上符合條件的點坐標為： 或或或．

【解析】

（1）設二次函數的解析式為，將點C坐標代入可求解；

（2）利用中點坐標公式可求P（﹣1，2），點Q（2，2），由勾股定理可求BC的長，由待定系數法可求PB解析式，設點M，由兩點距離公式可得，可求或，即可求解；

（3）過點D作DE⊥BC于點E，設直線DK與BC交于點N，先求出，，由銳角三角函數可求，分DK與射線EC交于點和DK與射線EB交于兩種情況討論，求出直線DK解析式，聯立方程組可求點K坐標．

解：（1）二次函數的圖象過點

設二次函數解析式為

又二次函數的圖象過點，

∴，即

故二次函數解析式為

（2）線段上存在，使得，理由如下：

設中點為，由題意，易知的坐標為，

若，則

∵，∴≈的中點為

設所在的直線為，則，得

所在的直線為

在線段上，設的坐標為，其中

如圖1，分別過，作軸與軸的垂線，，設，相交于點，

∴

∵

∴

整理得，解得或

當時，，重合，不合題意（舍去）

∴，則的坐標為

故線段上存在，使得

（3）如圖2，過點作于點，設直線與交于點

∵

∴

∵

∴直線

在中

①若與射線交于點

∴

∴

∴

∴直線

∴

解得或

②若與射線交于點

∴

∴

∴

∴直線

，解得或

綜上所述，拋物線上符合條件的點坐標為：

或或或．