Question

【題目】（教材呈現）

下圖是華師版九年級上冊數學教材第79頁的部分內容．

如圖，矩形的對角線、相交于點，、、、分別為、、、的中點，求證：四邊形是矩形．

請根據教材內容，結合圖①，寫出完整的解題過程．

（結論應用）

（1）在圖①中，若，，則四邊形的面積為__________；

（2）如圖②，在菱形中，，是其內任意一點，連接與菱形各頂點，四邊形的頂點、、、分別在、、、上，，，且，若與的面積和為，則菱形的周長為___________．

Answer 1

【答案】證明見解析；（1）；（2）24

【解析】

由矩形的性質得出OA=OC=OB=OD，再證出OE=OF=OG=OH，即可得出結論．

（1）證明△OEF為等邊三角形，得出∠EFO=60°，可求出，則答案即可求出；

（2）過點G作GN⊥EF于點N，由條件可知四邊形EFGH為平行四邊形，可得∠EFG=60°，設，則，由與的面積和為可列出方程求出x，證明，可得，可求出AB的長，則答案可求出．

解：∵四邊形是矩形，

∴，，，

∴，

∵，，，的中點為，

∴，

∴四邊形是矩形，

∵，

∴四邊形是矩形．

（1）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴為等邊三角形，

∴，

∴，

∴四邊形的面積為，

故答案為：．

（2）過點作于點，

∵，且

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

∵，

∴，

設，則，

∵與的面積和為，

∴，解得，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴菱形的周長為24．

故答案為：24．