Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊BC上一動點(不與B，C重合)，DE⊥AB于點E，點F是線段AD的中點，連接EF，CF.

(1)試猜想線段EF與CF的大小關系，并加以證明．

(2)若∠BAC＝30°，連接CE，在D點運動過程中，探求CE與AD的數量關系．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

(1)EF和CF分別是直角△AED和直角△ACD斜邊上的中線，依據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證得；

(2)證明△EFC是等邊三角形，然后根據等邊三角形的定義以及直角三角形的性質求解．

(1)EF＝CF，理由如下：

在Rt△AED和Rt△ACD中，

∵點F是線段AD的中點，

∴EF＝AD，CF＝AD，

∴EF＝CF；

(2)由(1)可知，EF＝AF＝CF，

∴∠AEF＝∠EAF，∠ACF＝∠CAF，

∴∠EFD＝2∠EAF，∠CFD＝2∠CAF，

∴∠EFC＝2∠BAC＝60°，

又EF＝CF，

∴△EFC為等邊三角形，

∴CE＝EF＝AD.