Question

【題目】提出問題：

（1）如圖，我們將圖（1）所示的凹四邊形稱為“鏢形”.在“鏢形”圖中，與、、的數量關系為____.

（2）如圖（2），已知平分，，，求的度數.

由（1）結論得：

所以 即

因為

所以

所以.

解決問題:

（1）如圖（3），直線平分, 平分的外角,猜想與、的數量關系是______；

（2）如圖（4），直線平分的外角, 平分的外角,猜想與、的數量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】提出問題：

（1）

（2）

解決問題：

（1）

（2）

【解析】

問題1：根據三角形的外角的性質即可得到結論；

問題2：根據角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據（1）的結論列出整理即可得解；

解決問題1：根據四邊形的內角和等于360°可得（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；

解決問題2：根據（1）的結論∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．

問題1：連接PO并延長．

則∠1=∠A+∠2，∠3=∠C+∠4，

∵∠2+∠4=∠P，∠1+∠3=∠AOC，

∴∠AOC=∠A+∠C+∠P；

故答案為：∠AOC=∠A+∠C+∠P；

問題2：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠2+∠B=∠3+∠P，

∠1+∠P=∠4+∠D，

∴2∠P=∠B+∠D，

∴∠P=（∠B+∠D）=×（28°+48°）=38°；

解決問題1：如圖3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴（180°-2∠1）+∠B=（180°-2∠4）+∠D，

在四邊形APCB中，（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，

在四邊形APCD中，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，

∴2∠P+∠B+∠D=360°，

∴∠P=180°-（∠B+∠D）；

解決問題2：如圖4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵（∠1+∠2）+∠B=（180°-2∠3）+∠D，

∠2+∠P=（180°-∠3）+∠D，

∴2∠P=180°+∠D+∠B，

∴∠P=90°+（∠B+∠D）．

故答案為：∠P=90°+（∠B+∠D）．