Question

【題目】如圖，正方形ABCD的四個頂點分別在正方形EFGH的四條邊上，我們稱正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形．

探究一：巳知邊長為1的正方形ABCD，是否存在一個外接正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD面積的2倍？如圖，假設存在正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD的2倍．

因為正方形ABCD的面積為1，則正方形EFGH的面積為2，

所以EF=FG=GH=HE=，設EB=x，則BF=﹣x，

∵Rt△AEB≌Rt△BFC

∴BF=AE=﹣x

在Rt△AEB中，由勾股定理，得

x2+（﹣x）2=12

解得，x1=x2=

∴BE=BF，即點B是EF的中點．

同理，點C，D，A分別是FG，GH，HE的中點．

所以，存在一個外接正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD面積的2倍

探究二：巳知邊長為1的正方形ABCD，是否存在一個外接正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD面積的3倍？（仿照上述方法，完成探究過程）

探究三：巳知邊長為1的正方形ABCD，　 　一個外接正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD面積的4倍？（填“存在”或“不存在”）

探究四：巳知邊長為1的正方形ABCD，是否存在一個外接正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD面積的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究過程）

Answer 1

【答案】不存在，詳見解析

【解析】

探究二，根據探究一的解答過程、運用一元二次方程計算即可；探究三，根據探究一的解答過程、運用一元二次方程根的判別式解答；探究四，根據探究一的解答過程、運用一元二次方程根的判別式解答．

探究二：因為正方形ABCD的面積為1，則正方形EFGH的面積為3，

所以EF=FG=GH=HE=，設EB=x，則BF=﹣x，

∵Rt△AEB≌Rt△BFC，

∴BF=AE=﹣x，

在Rt△AEB中，由勾股定理，得，

x2+（﹣x）2=12，

整理得x2﹣x+1=0，

b2﹣4ac=3﹣4＜0，

此方程無解，

不存在一個外接正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD面積的3倍；

探究三：因為正方形ABCD的面積為1，則正方形EFGH的面積為4，

所以EF=FG=GH=HE=2，設EB=x，則BF=2﹣x，

∵Rt△AEB≌Rt△BFC，

∴BF=AE=2﹣x，

在Rt△AEB中，由勾股定理，得，

x2+（2﹣x）2=12，

整理得2x2﹣4x+3=0，

b2﹣4ac=16﹣24＜0，

此方程無解，

不存在一個外接正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD面積的3倍，

故答案為：不存在；

探究四：因為正方形ABCD的面積為1，則正方形EFGH的面積為n，

所以EF=FG=GH=HE=，設EB=x，則BF=﹣x，

∵Rt△AEB≌Rt△BFC，

∴BF=AE=﹣x，

在Rt△AEB中，由勾股定理，得，

x2+（﹣x）2=12，

整理得2x2﹣2x+n﹣1=0，

b2﹣4ac=8﹣4n＜0，

此方程無解，

不存在一個外接正方形EFGH，它的面積是正方形ABCD面積的n倍．