Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，點A，C的坐標分別為A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC＝．

（1）寫出點B的坐標；

（2）在x軸上找一點D，連接BD，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點D的坐標；

（3）在（2）的條件下，如果點P從點A出發，以2cm/秒的速度沿AB向點B運動，同時點Q從點D出發，以1cm/秒的速度沿DA向點A運動．當一個點停止運動時，另一個點也隨之停止運動．設運動時間為t．問是否存在這樣的t使得△APQ與△ADB相似？如存在，請求出t的值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標為（1，3）；（2）點D的坐標為（，0）；（3）存在，當t＝s或s時，△APQ與△ADB相似．

【解析】

（1）根據正切的定義求出BC，得到點B的坐標；

（2）根據△ABC∽△ADB，得到=，代入計算求出AD，得到點D的坐標；

（3）分△APQ∽△ABD、△AQP∽△ABD兩種情況，根據相似三角形的性質列式計算即可．

解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），

∴AC＝4，

∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，

∴＝，即＝，

解得，BC＝3，

∴點B的坐標為（1，3）；

（2）如圖1，作BD⊥BA交x軸于點D，

則∠ACB＝∠ABD＝90°，又∠A＝∠A，

∴△ABC∽△ADB，

∴＝，

在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，

∴＝，

解得，AD＝，

則OD＝AD﹣AO＝，

∴點D的坐標為（，0）；

（3）存在，

由題意得，AP＝2t，AQ＝﹣t，

當PQ⊥AB時，PQ∥BD，

∴△APQ∽△ABD，

∴＝，即＝，

解得，t＝，

當PQ⊥AD時，∠AQP＝∠ABD，∠A＝∠A，

∴△AQP∽△ABD，

∴＝，即＝，

解得，t＝，

綜上所述，當t＝s或s時，△APQ與△ADB相似．