Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=a+bx+c(a<0)經過點A，B，

(1)求a、b滿足的關系式及c的值，

(2)當x<0時，若y=a+bx+c(a<0)的函數值隨x的增大而增大，求a的取值范圍，

(3)如圖，當a=1時，在拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積為?若存在，請求出符合條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由，

Answer 1

【答案】（1）b=3a+1；c=3；（2）；（3）點P的坐標為：（，）或（，）或（，）或（，）.

【解析】

（1）求出點A、B的坐標，即可求解；

（2）當x＜0時，若y=ax2+bx+c（a＜0）的函數值隨x的增大而增大，則函數對稱軸，而b=3a+1，即：，即可求解；

（3）過點P作直線l∥AB，作PQ∥y軸交BA于點Q，作PH⊥AB于點H，由S△PAB=，則=1，即可求解．

解：（1）y=x+3，令x=0，則y=3，令y=0，則x=，

故點A、B的坐標分別為（-3，0）、（0，3），則c=3，

則函數表達式為：y=ax2+bx+3，

將點A坐標代入上式并整理得：b=3a+1；

（2）當x＜0時，若y=ax2+bx+c（a＜0）的函數值隨x的增大而增大，

則函數對稱軸，

∵，

∴，

解得：，

∴a的取值范圍為：；

（3）當a=時，b=3a+1=

二次函數表達式為：，

過點P作直線l∥AB，作PQ∥y軸交BA于點Q，作PH⊥AB于點H，

∵OA=OB，

∴∠BAO=∠PQH=45°，

S△PAB=×AB×PH=××PQ×=，

則PQ==1，

在直線AB下方作直線m，使直線m和l與直線AB等距離，

則直線m與拋物線兩個交點，分別與點AB組成的三角形的面積也為，

∴，

設點P（x，-x2-2x+3），則點Q（x，x+3），

即：-x2-2x+3-x-3=±1，

解得：或；

∴點P的坐標為：（，）或（，）或（，）或（，）.