Question

【題目】我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新與發(fā)展都曾居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖）就是一例，它的發(fā)現(xiàn)比歐洲早五百年左右．

楊輝三角兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)為它的上方（左右）兩數(shù)之和．事實上，這個三角形給出了（n=1，2，3，4，5，6）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律. 例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)著展開式中各項的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)著展開式中各項的系數(shù)，等等．

（1）當(dāng)n=4時，的展開式中第3項的系數(shù)是_________；

（2）人們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n是大于6的自然數(shù)時，這個規(guī)律依然成立，那么的展開式中各項的系數(shù)的和為_________．

Answer 1

【答案】6 128

【解析】

（1）當(dāng)n=4時，的展開式的系數(shù)恰好對應(yīng)的是第五行的數(shù)，根據(jù)第五行的數(shù)即刻得出答案；

（2）的展開式的系數(shù)恰好對應(yīng)第八行的數(shù)，據(jù)圖寫出第八行的數(shù)求和即可.

解：（1）的展開式的系數(shù)恰好對應(yīng)的是第五行的數(shù)，為：1,4,6,4,1，故的展開式中第3項的系數(shù)是6；

（2）據(jù)題可知第八行的數(shù)為：1,7,21,35,35,21,7,1.故的展開式中各項的系數(shù)的和為：1+7+21+35+35+21+7+1=128.

故答案為：(1)6;(2)128.