Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點O作OD⊥AB，交BC的延長線于D，交AC于點E，F是DE的中點，連接CF．

（1）求證：CF是⊙O的切線．

（2）若∠A＝22.5°，求證：AC＝DC．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析.

【解析】

（1）先根據圓周角定理得出∠ACB＝∠ACD＝90°，再根據直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CF＝EF＝DF，再根據對頂角相等和等腰三角形兩底角相等得出∠AEO＝∠FCE，再由∠OCA＋∠FCE＝∠OAC＋∠AEO＝90°，即可知CF是⊙O的切線；

（2）連接AD，由OD⊥AB且AO=BO可知OD是垂直平分線，即可得到DO是角平分線，∠BAC+∠B=∠ODB+∠B=90°，可得∠ODB=∠BAC=22.5°，可得∠ADB=45°，求得△ACD是等腰直角三角形，所以AC=DC.

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠ACD＝90°，

∵點F是ED的中點，

∴CF＝EF＝DF，

∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∵OD⊥AB，

∴∠OAC＋∠AEO＝90°，

∴∠OCA＋∠FCE＝90°，即OC⊥FC，

∴CF與⊙O相切；

（2）證明：連接AD

∵OD⊥AB，AC⊥BD，

∴∠AOE＝∠ACD＝90°，

∵∠AEO＝∠DEC，

∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，

∵AO＝BO，

∴AD＝BD，

∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，

∴∠ADB＝45°，

∴∠CAD＝∠ADC＝45°，

∴AC＝CD．