Question

【題目】如圖1，在正方形中，對角線與相交于點，是上任意一點，連接，過點作，垂足為點，與交于點．

（1）求證：；

（2）如圖2，若點在的延長線上，于點，與的延長線交于點，其他條件不變，判斷線段與的數量關系： ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DP=AR，證明見解析．

【解析】

（1）由四邊形ABCD為正方形，得到對角線垂直且互相平分，再由AQ與BR垂直，得到一對角相等，進而得到△PAO與△RBO全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證；

（2）與（1）同理可證OR=OP，結合正方形的性質可證明DP=AR．

證明：（1）∵正方形ABCD的對角線DB，AC相交于點O，
∴DB⊥AC，OA=OB，

∴∠QAC+∠APO=90°，∠BOC=∠AOB=90°，
∵AQ⊥BR，

∴∠QAC+∠BRO=90°，
∴∠APO =∠BRO，
∴△PAO≌△RBO（AAS），
∴OR=OP；

（2）DP=AR，理由如下：

與（1）同理可證OR=OP，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AO=OD,

∴AO+OR=OD+OP，

∴AR=DP，