Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中(如圖)，已知拋物線y=ax2+4ax+c(a≠0)經過A(0，4)，B(﹣3，1)，頂點為C．

(1)求該拋物線的表達方式及點C的坐標；

(2)將(1)中求得的拋物線沿y軸向上平移m(m＞0)個單位，所得新拋物線與y軸的交點記為點D．當△ACD時等腰三角形時，求點D的坐標；

(3)若點P在(1)中求得的拋物線的對稱軸上，聯結PO，將線段PO繞點P逆時針轉90°得到線段PO′，若點O′恰好落在(1)中求得的拋物線上，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+4x+4，C坐標為（﹣2，0）；（2）D坐標為（0，2+4）；（3）P的坐標為（﹣2，2），（﹣2，﹣1）

【解析】

（1）將A與B坐標代入拋物線解析式中求出a與c的值，即可確定出拋物線解析式，配方后即可求出頂點C的坐標；
（2）由平移規律即C的坐標表示出D的坐標，在直角三角形AOC中，由OA與OC的長，利用勾股定理求出AC的長，由圖形得到∠DAC為鈍角，三角形ACD為等腰三角形，只有DA=AC，求出DA的長，即為m的值，即可確定出D的坐標；
（3）由P在拋物線的對稱軸上，設出P坐標為（-2，n），如圖所示，過O′作O′M⊥x軸，交x軸于點M，過P作PN⊥O′M，垂足為N，由旋轉的性質得到一對邊相等，再由同角的余角相等得到一對角相等，根據一對直角相等，利用AAS得到△PCO≌△PNO′，由全等三角形的對應邊相等得到O′N=OC=2，PN=PC=|n|，再由PCMN為矩形得到MN=PC=|n|，分n大于0與小于0兩種情況表示出O′坐標，將O′坐標代入拋物線解析式中求出相應n的值，即可確定出P的坐標．

（1）將A，B坐標分別代入拋物線解析式得： ，
解得： ，
∴拋物線解析式為y=x2+4x+4=（x+2）2，
∴頂點C坐標為（-2，0）；

（2）由題意得：D（0，m+4），

在Rt△AOC中，OA=4，OC=2，

根據勾股定理得： ，

由圖形得到∠DAC為鈍角，要使△ACD為等腰三角形，只有DA=AC=2，

∴DA=m=2，

則D坐標為（0，2+4）；

（3）設P（﹣2，n），如圖所示，過O′作O′M⊥x軸，交x軸于點M，過P作PN⊥O′M，垂足為N，

易得PO=PO′，∠PCO=∠PNO′=90°，∠CPO=∠NPO′，

∴△PCO≌△PNO′（AAS），

∴O′N=OC=2，PN=PC=|n|，

∵四邊形PCMN為矩形，

∴MN=PC=|n|，

①當n＞0時，O′（n﹣2，n+2），代入拋物線解析式得：n2﹣n﹣2=0，

解得：n=2或n=﹣1（舍去）；

②當n＜0時，O′（n﹣2，n+2），代入拋物線解析式得：n2﹣n﹣2=0，

解得：n=2（舍去）或n=﹣1，

綜上①②得到n=2或﹣1，

則P的坐標為（﹣2，2），（﹣2，﹣1）．