Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，點A(4，0)，點B(0，3)，△ABO繞點B順時針旋轉，得△A′BO′，點A、O旋轉后的對應點為A′、O′，記旋轉角為α．

(1)如圖1，若α=90°，求AA′的長；

(2)在(1)的條件下，邊OA上的一點M旋轉后的對應點為N，當O′M+BN取得最小值時，在圖中畫出求點M的位置，并求出點N的坐標。

(3)如圖2，在△ABO繞點B順時針旋轉過程中，以AB、A′B為鄰邊畫菱形AB A′E，F是AB的中點，連A′F交BE于P，BP的垂直平分線交AB于K，當α從60°到90°的變化過程中，點K的位置是否變化？若不變，求BK的長并直接寫出此變化過程中點P的運動路徑長．

Answer 1

【答案】（1）AA'＝；（2）作圖見解析，N(﹣3， )；（3）不發生變化，

【解析】

（1）先求出AB的長度，然后利用旋轉的性質得到，然后得到的長度；

（2）根據題意，利用軸對稱的性質，先確定出點M的位置，然后求出點M的坐標，利用旋轉的性質，即可得到點N的坐標；

（3）根據菱形的性質，得到△FBP∽△A′EP，然后結合相似三角形的性質和平行線分線段成比例，求出BK的長度；根據弧長公式，即可求出點P的運動路徑長.

解：（1）∵A(﹣4，0)，點B(0，3)，

∴OA＝4，OB＝3

由勾股定理得：AB＝，

∵旋轉角＝90°，

由旋轉知A'B＝AB＝5，

∴△A'BA是等腰直角三角形，

∴AA'＝；

（2）由旋轉知BN＝BM，

∴O′M+BN的最小值＝O′M+BM的最小值，

∴作出點B(0，3)關于x軸的對稱點B'(0，﹣3)，連接O'B'交OA于點M，點M即為所求；

設O′B'：y＝kx+b把O′(﹣3，3)B'(0，﹣3)代入得

，

解得：k＝﹣2，b＝﹣3，

∴O′B'為y＝﹣2x﹣3；

令'y＝0得：x＝﹣，

∴M(﹣，0)，MO ＝，

∵由旋轉的性質得△BOM≌△BO′N，

∴OM ＝O′N＝，

∴N的縱坐標為：3+＝，

∴N(﹣3， )；

（3）不發生變化；理由如下：

∵F是BC的中點，

∴BF＝AF＝AB，

∵四邊形AB A′E是菱形，

∴AB＝A′E，AB∥A′E，

∴△FBP∽△A′EP，

∴，

∵四邊形AB A′E是菱形，

∴∠ABE＝∠A′ BE，

又∵BP的中垂線與邊AB交于點K，

∴KP＝KB，

∴∠ABE＝∠KPB，

∴∠KPB＝∠A′ BE，

∴PK∥AE∥A′ B，

∴，

∴BK＝AB＝，

即點K的位置不發生改變；

∴P點經過路線是以K為圓心，BK為半徑的圓弧，

長度為：．