Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+3交y軸于點A，交x軸于點B（-3，0）和點C（1，0），頂點為點M．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點E為x軸上一動點，若△AME的周長最小，請求出點E的坐標；

（3）點F為直線AB上一個動點，點P為拋物線上一個動點，若△BFP為等腰直角三角形，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）E（-，0）；（3）點P的坐標為（2，-5）或（1，0）．

【解析】

（1）設拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），然后將點A的坐標代入函數解析式即可求得此拋物線的解析式；

（2）作A關于x軸的對稱點A′（0，-3），連接MA′交x軸于E，此時△AME的周長最小，求出直線MA'解析式即可求得E的坐標；

（3）如圖2，先求直線AB的解析式為：y=x+3，根據解析式表示點F的坐標為（m，m+3），

分三種情況進行討論：

①當∠PBF=90°時，由F1P⊥x軸，得P（m，-m-3），把點P的坐標代入拋物線的解析式可得結論；

②當∠BF3P=90°時，如圖3，點P與C重合，

③當∠BPF4=90°時，如圖3，點P與C重合，

從而得結論．

（1）當x=0時，y=3，即A（0，3），

設拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），

把A（0，3）代入得：3=-3a，

a=-1，

∴y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3，

即拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，

∴M（-1，4），

如圖1，作點A（0，3）關于x軸的對稱點A'（0，-3），連接A'M交x軸于點E，則點E就是使得△AME的周長最小的點，

設直線A′M的解析式為：y=kx+b，

把A'（0，-3）和M（-1，4）代入得：

，

解得：

∴直線A'M的解析式為：y=-7x-3，

當y=0時，-7x-3=0，

x=-，

∴點E（-，0），

（3）如圖2，易得直線AB的解析式為：y=x+3，

設點F的坐標為（m，m+3），

①當∠PBF=90°時，過點B作BP⊥AB，交拋物線于點P，此時以BP為直角邊的等腰直角三角形有兩個，即△BPF1和△BPF2，

∵OA=OB=3，

∴△AOB和△A'OB是等腰直角三角形，

∴∠F1BC=∠BF1P=45°，

∴F1P⊥x軸，

∴P（m，-m-3），

把點P的坐標代入拋物線的解析式y=-x2-2x+3中得：

-m-3=-m2-2m+3，

解得：m1=2，m2=-3（舍），

∴P（2，-5）；

②當∠BF3P=90°時，如圖3，

∵∠F3BP=45°，且∠F3BO=45°，

∴點P與C重合，

故P（1，0），

③當∠BPF4=90°時，如圖3，

∵∠F4BP=45°，且∠F4BO=45°，

∴點P與C重合，

故P（1，0），

綜上所述，點P的坐標為（2，-5）或（1，0）．