Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點D，E是的中點，AE與BC交于點F，∠C=2∠EAB．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）已知CD=4，CA=6，

①求CB的長；

②求DF的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) ①BC=9；②DF=2.

【解析】

(1) 連結AD, 根據圓周角定理,由E是BD的中點得到∠EAB=∠EAD, 由于∠ACB=2∠EAB, 則∠ACB=∠DAB, 再利用圓周角定理得到∠ADB=, 則∠DAC+∠ACB=90, 所以∠DAC+∠DAB=, 于是根據切線的判定定理得到AC是OO的切線;

(2)①在Rt△ABC中, 根據cosC===，AC=6可得AC=6;

②作FH⊥AB于H, 由BD=BC-CD=5, ∠EAB=∠EAD, FD⊥AD,FH⊥AB, 推出FD=FH, 設FB=x, 則DF=FH=5-x， 根據cos∠BFH=cos∠C==，構建方程即可解決問題.

(1)連結AD，如圖，

∵E是的中點，

∴==，

∴∠EAB=∠EAD，

∵∠ACB=2∠EAB，

∴∠ACB=∠DAB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAC+∠ACB=90°，

∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，

∴AC⊥AB，

∴AC是⊙O的切線；

(2)①在Rt△ACB中，

∵cosC===，AC=6，

∴BC=9．

②作FH⊥AB于H，

∵BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，

∴FD=FH，設FB=x，則DF=FH=5﹣x，

∵FH∥AC，

∴∠HFB=∠C，

在Rt△BFH中，

∵cos∠BFH=cos∠C==，

∴=，

解得x=3，即BF的長為3，

∴DF=2