Question

【題目】已知點P是RtABC斜邊AB上一動點(不與A，B重合)，分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F。（1）如圖1，當點P 為AB 的中點時，連接AF，BE。求證：四邊形AEBF是平行四邊形；（2）如圖2，當點P 不是AB的中點，取AB的中點Q，連接EQ，FQ 。試判斷△QEF 的形狀，并加以證明。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△QEF是等腰三角形．證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）首先證明△BFQ≌△AEQ可得QE=QF，再由AQ=BQ可利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定四邊形AEBF是平行四邊形；

（2）首先證明△FBQ≌△DAQ可得QF=QD，再根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得QE=QF=QD，進而可得結論．

試題解析：（1）如圖1，

∵Q為AB中點，

∴AQ=BQ，

∵BF⊥CP，AE⊥CP，

∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，

在△BFQ和△AEQ中：

∴△BFQ≌△AEQ（AAS），

∴QE=QF，

∴四邊形AEBF是平行四邊形；

（2）△QEF是等腰三角形．，

如圖2，延長FQ交AE于D，

∵AE∥BF，

∴∠QAD=∠FBQ，

在△FBQ和△DAQ中

，

∴△FBQ≌△DAQ（ASA），

∴QF=QD，

∵AE⊥CP，

∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，

∴QE=QF=QD，即QE=QF，

∴△QEF是等腰三角形．