Question

【題目】如圖，點A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置．

（1）求點B的坐標；

（2）求經過點A．O、B的拋物線的解析式；

（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）如圖，過B點作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°。

∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。

又∵OA=OB=4，

∴OC=OB=×4=2，BC=OBsin60°=。

∴點B的坐標為（﹣2，﹣）。

（2）∵拋物線過原點O和點A．B，

∴可設拋物線解析式為y=ax2+bx，將A（4，0），B（﹣2，﹣）代入，

得，解得。

∴此拋物線的解析式為。

（3）存在。

如圖，拋物線的對稱軸是x=2，直線x=2與x軸的交點為D，

設點P的坐標為（2，y）。

①若OB=OP，則22+|y|2=42，解得y=±，

當y=時，

在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，

∴∠POD=60°

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三點在同一直線上。

∴y=不符合題意，舍去。

∴點P的坐標為（2，﹣）。

②若OB=PB，則42+|y+|2=42，解得y=﹣。

∴點P的坐標為（2，﹣）。

③若OP=BP，則22+|y|2=42+|y+|2，解得y=﹣。

∴點P的坐標為（2，﹣）。

綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標為（2，﹣）。

【解析】（1）首先根據OA的旋轉條件確定B點位置，然后過B做x軸的垂線，通過構建直角三角形和OB的長（即OA長）確定B點的坐標。

（2）已知O、A、B三點坐標，利用待定系數法求出拋物線的解析式。

（3）根據（2）的拋物線解析式，可得到拋物線的對稱軸，然后先設出P點的坐標，而O、B坐標已知，可先表示出△OPB三邊的邊長表達式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的P點。