Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過A（4，0），B（1，3）兩點，點C，B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．

（1）求拋物線的表達式；
（2）直接寫出點C的坐標，并求出△ABC的面積；
（3）點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，當△ABP的面積為6時，求出點P的坐標；
（4）若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，當CM=MN，且∠CMN=90°時，求此時△CMN的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax2+bx中，得 解得： ，

∴拋物線表達式為：y=﹣x2+4x

（2）

解：拋物線對稱軸為x=﹣ =2．

∵點C，B關于拋物線的對稱軸對稱，點B的坐標為（1，3），

∴點C的坐標為（3，3）．

∴BC=2，

∴S△ABC= ×2×3=3

（3）

解：過P點作PD⊥BH交BH于點D．

設點P（m，﹣m2+4m），

根據題意得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，

∴S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD，即6= ×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣ （m﹣1）（3+m2﹣4m）．

整理得：3m2﹣15m=0，

解得：m1=0（舍去），m2=5，

∴點P坐標為（5，﹣5）

（4）

解：當CM=MN，且∠CMN=90°時，分情況討論：

①當點M在x軸上方時，如圖2所示：

∵∠CMN=90°，

∴∠BMC+∠NMH=90°．

又∵∠BMC+∠BCM=90°，

∴∠NMH=∠BCM．

在△BCM和△HMN中 ，

∴△CBM≌△MHN．

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴M（1，2），N（2，0），

由勾股定理得：MC= = ，

∴S△CMN= × × = ．

②當點M在x軸下方時，如圖3所示：構造直角三角形Rt△NEM和Rt△MDC

∵∠NMC=90°，

∴∠NME+∠CMD=90°．

∵∠ENM+∠EMN=90°，

∴∠CMD=∠ENM．

在Rt△NEM和Rt△MDC中

∴Rt△NEM≌Rt△MDC．

∴EM=CD=5，MD=ME=2，

由勾股定理得：CM= = ，

∴S△CMN= × × = ；

綜上所述：△CMN的面積為： 或

【解析】（1）把點A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax2+bx中，求得a、b的值，從而得到拋物線的解析式；（2）先求得拋物線對稱軸為x=2，由點B的坐標可得到點C的坐標，從而得到BC的長，然后依據三角形的面積公式求解即可（3）過P點作PD⊥BH交BH于點D．設點P（m，﹣m2+4m），則BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，然后依據S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD ， 列出關于m的方程，從而可求得m的值于是可求得點P的坐標；（4）①當點M在x軸上方時，先證明三角形△CBM≌△MHN，從而可求得BC=MH=2，BM=1，于是可得到點M，N的坐標，然后依據勾股定理求得MC的長，最后依據三角形的面積公式求解即可；②如圖3所示：當點M在x軸下方時，過點M作平行與x軸的直線，然后分別過點N和點C作x軸的垂線，從而可構造出直角三角形Rt△NEM和Rt△MDC，接下來，再證明Rt△NEM≌Rt△MDC，依據全等三角形的性質可得到EM=CD=5，MD=ME=2，然后依據勾股定理可求得CM的長，最后依據三角形的面積公式求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．