Question

【題目】已知：等腰△OAB在直角坐標系中的位置如圖，點A坐標為，點B坐標為（-6，0）．

（1）若將△OAB沿x軸向右平移a個單位，此時點A恰好落在反比例函數的圖象上，求a的值；

（2）若△OAB繞點O按逆時針方向旋轉α度（0＜α＜360）．

①當α=30°時，點B恰好落在反比例函數的圖象上，求k的值；

②問點A、B能否同時落在①中的反比例函數的圖象上？若能，直接寫出α的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②=60°

【解析】

（1）由題意可得將△AOB向右平移a個單位后點A 坐標為，將此時點A的坐標代入中，即可求得a的值；

（2）①如圖1，設旋轉后點B的對應點是點B′，連接OB′，過點B′作B′E⊥x軸于點E，則由題意可得OB′=OB=6，∠EOB′=30°，由此在△OB′E中求得B′E和OE的長，即可得到此時點B′的坐標，將點B′的坐標代入中即可求得k的值；

②如圖2，當點A旋轉后落到①中B′的位置上，同時點B旋轉到了B′′的位置上，過點B′′作B′′F⊥y軸于點F，結合已知條件求出此時點B′′的坐標，得到此時點B′′也在①中反比例函數的圖象上的結論，再求得∠AOB的度數，即可得到此時的旋轉角的值了.

（1）由題意可知，將△AOB向右平移a個單位后點A 坐標為，

∵平移后的點A剛好落在反比例函數的圖象上，

∴，解得：；

（2）①如圖1，設旋轉后點B的對應點是點B′，連接OB′，過點B′作B′E⊥x軸于點E，則由題意可得OB′=OB=6，∠EOB′=30°，

∴∠OEB′=90°，

∴OE=OB′·cos30°=，B′E=OB′·sin30°=，

∴點B′的坐標為，

∵此時點B′在反比例函數的圖象上，

∴；

②能，理由如下：

∵點A的坐標為，

∴tan∠AOB=，

∴∠AOB=30°，

∵OA=OB=6，

∴當旋轉后點A落在①中B′的位置時，此時點A′在①中的反比例函數的圖象上（如圖2），此時點B旋轉到了B′′的位置上，則∠A′OB=30°，

∴此時∠AOA′=60°，

∴∠BOB′′=60°，

∴∠B′′OF=30°，

過點B′′作B′′F⊥y軸于點F，則∠B′′FO=90°，

∴OF=OB′′·cos30°=，B′′F=OB′′·sin30°=，

∴此時點B′′的坐標為，

∵，

∴此時點B′′在①中反比例函數的圖象上，