Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．

（1）求證：無論k取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根；

（2）當一矩形ABCD的對角線長為AC＝，且矩形兩條邊AB和BC恰好是這個方程的兩個根時，求矩形ABCD的周長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）14．

【解析】

（1）計算判別式的值得到△＝（2k﹣3）2+4，利用非負數的性質得到△＞0，從而根據判別式的意義得到結論；

（2）利用根與系數的關系得到AB+BC＝2k+1，ABBC＝4k﹣3，利用矩形的性質和勾股定理得到AB2+BC2＝AC2＝（）2，則（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，解得k1＝3，k2＝﹣2，利用AB、BC為正數得到k的值為3，然后計算AB+BC得到矩形ABCD的周長．

（1）證明：△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3）

＝4k2+4k+1﹣16k+12

＝4k2﹣12k+13

＝（2k﹣3）2+4，

∵（2k﹣3）2≥0，

∴△＞0，

∴無論k取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根；

（2）根據題意得AB+BC＝2k+1，ABBC＝4k﹣3，

而AB2+BC2＝AC2＝（）2，

∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，

整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k1＝3，k2＝﹣2，

而AB+BC＝2k+1＞0，ABBC＝4k﹣3＞0，

∴k的值為3，

∴AB+BC＝7，

∴矩形ABCD的周長為14．