Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AB=AC=5，cosB=，P是邊AB上一點，以P為圓心，PB為半徑的⊙P與邊BC的另一個交點為D，聯結PD、AD．

（1）求△ABC的面積；

（2）設PB=x，△APD的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；

（3）如果△APD是直角三角形，求PB的長．

Answer 1

【答案】（1）12（2）y= （0＜x＜5）（3）或

【解析】試題分析：（1）過點A作AH⊥BC于點H ，根據cosB=求得BH的長，從而根據已知可求得AH的長，BC的長，再利用三角形的面積公式即可得；

（2）先證明△BPD∽△BAC，得到=，再根據 ，代入相關的量即可得；

（3）分情況進行討論即可得.

試題解析：（1）過點A作AH⊥BC于點H ，則∠AHB=90°，∴cosB= ，

∵cosB=，AB=5，∴BH=4，∴AH=3，

∵AB=AC，∴BC=2BH=8，

∴S△ABC=×8×3=12

（2）∵PB=PD，∴∠B=∠PDB，

∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠PDB，

∴△BPD∽△BAC，

∴ ，

即，

解得=，

∴ ，

∴ ，

解得y= （0＜x＜5）；

（3）∠APD＜90°，

過C作CE⊥AB交BA延長線于E，可得cos∠CAE= ，

①當∠ADP=90°時，

cos∠APD=cos∠CAE=，

即 ，

解得x=；

②當∠PAD=90°時，

，

解得x=，

綜上所述，PB=或.