Question

【題目】（1）問題發現

如圖1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，點E是線段AC上一動點，連接DE．

填空：①則的值為______；②∠EAD的度數為_______．

（2）類比探究

如圖2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，點E是線段AC上一動點，連接DE．請求出的值及∠EAD的度數；

（3）拓展延伸

如圖3，在（2）的條件下，取線段DE的中點M，連接AM、BM，若BC=4，則當△ABM是直角三角形時，求線段AD的長．

Answer 1

【答案】（1）1，；（2），∠EAD=90°；（3）線段AD的長為（2+6）．

【解析】

（1）由題意可得Rt△ABC和Rt△DBE均為等腰直角三角形，通過證明△ABD≌△BCE，可得AD=EC，∠DAB=∠BCE=45°，從而可得到結論；
（2）通過證明△ABD∽△BCE，可得的值，∠BAD=∠ACB=60°，即可求∠EAD的度數；
（3）由直角三角形的性質可證AM=BM=DE，即可求DE=4，由勾股定理可求CE的長，從而可求出AD的長．

（1）∵∠ABC=∠DBE=90°, ∠ACB=∠BED=45°，

∴∠CBE=∠ABD,∠CAB=45°

∴AB=BC，BE=DE，

∴△BCE≌△BAD

∴AD=CE，∠BAD=∠BCE=45°

∴=1，∠EAD=∠CAB+∠BAD=90°

故答案為：1，

（2），∠EAD=90°

理由如下：∵∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°

∴∠ABD=∠EBC，∠BAC=∠BDE=30°

∴在Rt△ABC中，tan∠ACB==tan60°=

在Rt△DBE中，tan∠BED==tan60°=

∴=

又∵∠ABD=∠EBC

∴△ABD∽△BCE

∴==，∠BAD=∠ACB=60°

∵∠BAC=30°

∴∠EAD=∠BAD+∠BAC=60°+30°=90°，

（3）如圖，由（2）知：==，∠EAD=90°

∴AD=CE，

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=4，

∴AC=8，AB=4，

∵∠EAD=∠EBD=90°，且點M是DE的中點，

∴AM=BM=DE，

∵△ABM為直角三角形，

∴AM2+BM2=AB2=（4）2=48，

∴AM=BM=2，

∴DE=4，

設EC=x，則AD=x，AE=8-x

Rt△ADE中，AE2+AD2=DE2

∴(8-x)2+(x)2=(4)2，

解之得：x=2+2（負值舍去），

∴EC=2+2，

∴AD=CE=2+6，

∴線段AD的長為（2+6），