Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點M的坐標為（x1，y1），點N的坐標為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN為邊構造菱形，若該菱形的兩條對角線分別平行于x軸，y軸，則稱該菱形為邊的“坐標菱形”．

（1）已知點A（2，0），B（0，2），則以AB為邊的“坐標菱形”的最小內角為　 　；

（2）若點C（1，2），點D在直線y=5上，以CD為邊的“坐標菱形”為正方形，求直線CD 表達式；

（3）⊙O的半徑為，點P的坐標為（3，m）．若在⊙O上存在一點Q，使得以QP為邊的“坐標菱形”為正方形，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1

【解析】分析：（1）根據定義建立以AB為邊的“坐標菱形”，由勾股定理求邊長AB=4，可得30度角，從而得最小內角為60°；

（2）先確定直線CD與直線y=5的夾角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直線CD的表達式為：y=x+1或y=﹣x+3；

（3）分兩種情況：

①先作直線y=x，再作圓的兩條切線，且平行于直線y=x，如圖3，根據等腰直角三角形的性質分別求P'B=BD=1，PB=5，寫出對應P的坐標；

②先作直線y=﹣x，再作圓的兩條切線，且平行于直線y=﹣x，如圖4，同理可得結論．

詳解：（1）∵點A（2，0），B（0，2），∴OA=2，OB=2．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==4，∴∠ABO=30°．

∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．

∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB為邊的“坐標菱形”的最小內角為60°．

故答案為：60°；

（2）如圖2．

∵以CD為邊的“坐標菱形”為正方形，∴直線CD與直線y=5的夾角是45°．

過點C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直線CD的表達式為：y=x+1或y=﹣x+3；

（3）分兩種情況：

①先作直線y=x，再作圓的兩條切線，且平行于直線y=x，如圖3．

∵⊙O的半徑為，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．

∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．

∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴當1≤m≤5時，以QP為邊的“坐標菱形”為正方形；

②先作直線y=﹣x，再作圓的兩條切線，且平行于直線y=﹣x，如圖4．

∵⊙O的半徑為，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．

∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．

∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴當﹣5≤m≤﹣1時，以QP為邊的“坐標菱形”為正方形；

綜上所述：m的取值范圍是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．