Question

【題目】如圖，將一副直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．

（1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝　 　；若∠ACB＝140°，則∠DCE＝　 　；

（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關系，并說明理由；

（3）若保持三角尺BCE（其中∠B＝45°）不動，三角尺ACD的CD邊與CB邊重合，然后將三角尺ACD（其中∠D＝30°）繞點C按逆時針方向任意轉動一個角度∠BCD．

設∠BCD＝α（0°＜α＜90°）

①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能說明理由．

②當這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直時直接寫出α的所有可能值．

Answer 1

【答案】（1）145°，40°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互補；（3）①當∠ACB是∠DCE的4倍，α＝54°；②CE⊥AD時，α＝30°，BE⊥CD時，α＝45°，BE⊥AD時，α＝75°．

【解析】

（1）由于是兩直角三角形板重疊，重疊的部分就比90°+90°減少的部分，所以若∠DCE＝35°，則∠ACB的度數為180°﹣35°＝145°，∠ACB＝140°，則∠DCE的度數為180°﹣140°＝40°

（2）由于∠ACD＝∠ECB＝90°，重疊的度數就是∠ECD的度數，所以∠ACB+∠DCE＝180°．

（3）①當∠ACB是∠DCE的4倍，設∠ACB＝4x，∠DCE＝x，利用∠ACB與∠DCE互補得出即可；

②分別利用CE⊥AD，BE⊥CD，BE⊥AD分別求出即可．

解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，

∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°．

∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠ACB＝140°，

∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．

故答案為：145°，40°；

（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互補，

理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．

∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，

∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB與∠DCE互補．

（3）①當∠ACB是∠DCE的4倍，

∴設∠ACB＝4x，∠DCE＝x，

∵∠ACB+∠DCE＝180°，

∴4x+x＝180°

解得：x＝36°，

∴α＝90°﹣36°＝54°；

②CE⊥AD時，AD∥BC，

∴α＝∠D=30°，

BE⊥CD時，α＝α＝∠B=45°，

BE⊥AD時，如圖，∠EFG=90°-45°=45°，

∴∠ECD=∠EFG-∠D=45°-30°=15°，

則α=∠ECB-∠ECD=90°-15°=75°.

綜上，CE⊥AD時，α＝30°，BE⊥CD時，α＝45°，BE⊥AD時，α＝75°．