Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，P為線段BC上一動點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點D，是否存在這樣的P點，使線段PD的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，拋物線的頂點為E，EF⊥x軸于點F，N是直線EF上一動點，M（m，0）是x軸一個動點，請直接寫出CN+MN+MB的最小值以及此時點M、N的坐標，直接寫出結果不必說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）存在，PD最大值為；（3），N（1，），M（，0）．

【解析】

（1）y=﹣x2+bx+c經過點C，則c=3，將點A的坐標代入拋物線表達式：y=﹣x2+bx+3，即可求解；

（2）設點D（x，﹣x2+2x+3），則點P（x，﹣x+3），則PD=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，即可求解；

（3）過點B作傾斜角為30°的直線BH，過點C作CH⊥BH交于點H，CH交對稱軸于點N，交x軸于點M，則點M、N為所求，即可求解．

（1）y=﹣x2+bx+c經過點C，則c=3，

將點A的坐標代入拋物線表達式：y=﹣x2+bx+3，得：0=-1-b+3，解得：b=2，

拋物線的表達式為：y=﹣x2+2x+3；

（2）存在，理由：

令y=0，得：﹣x2+2x+3=0，解得：x=﹣1或3，故點B（3，0），

設直線BC為y=kx+b，將點B、C的坐標代入得：

，解得：．

∴直線BC的表達式為：y=﹣x+3，

設點D（x，﹣x2+2x+3），則點P（x，﹣x+3），

則PD=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x=，

當x時，PD最大值為：；

（3）過點B作傾斜角為30°的直線BH，過點C作CH⊥BH交于點H，CH交對稱軸于點N，交x軸于點M，則點M、N為所求．

∵∠ABH=30°，∠MHB=90°，∴∠CMO=∠BMH=90°-30°=60°．

∵∠COB=90°，∴∠COM=30°，∴OC=OM．

∵OC=3，∴OM=，

∴M（，0），CM=2OM=，MF=OM-OF=，MB=OB-OM=．

∵∠FMN=60°，∴tan∠FMN=，∴，

∴NF=，∴N（1，）．

CN+MNMB的最小值=CMMB=．