Question

【題目】在△ABC中，AD是△ABC的角平分線．

（1）如圖1，過C作CE∥AD交BA延長線于點E，若F為CE的中點，連接AF，求證：AF⊥AD．

（2）如圖1，在（1）的條件下，若CD＝2BD，S△ABD＝10，求△BCE的面積．

（3）如圖2，M為BC的中點，過M作MN∥AD交AC于點N，猜想線段AB、AC、AN之間的數量關系？請寫出你的猜想，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）90；（3）AC＝AB+2AN，見解析

【解析】

（1）角平分線的定義得出∠BAD＝∠CAD，由平行線的性質得出∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，則∠E＝∠ACE，由等腰三角形的性質得出AC＝AE，AF⊥EC，推出，即可得出結論；

（2）求出BC＝3BD，證出△ABD∽△EBC，則，即可得出結果；

（3）延長BA與MN延長線于點E，過B作BF∥AC交NM延長線于點F，則∠MBF＝∠C，∠F＝∠MNC，由中點得出BM＝CM，由AAS證得△BFM≌△CNM得出BF＝CN，由MN∥AD，得出∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠MNC＝∠ANE，則∠E＝∠ANE＝∠F，得出AE＝AN，BE＝BF，推出BF＝AB+AN，即可得出結論．

（1）證明：∵AD為△ABC的角平分線，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵CE∥AD，

∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，

∴∠E＝∠ACE，

∴AC＝AE，

∵F為EC的中點，

∴AF⊥EC，

∵AD∥EC，

∴，

∴AF⊥AD；

（2）解：∵CD＝2BD，

∴BC＝3BD，

∴AD∥CE，

∴△ABD∽△EBC，

∴，

∴；

（3）解：AC＝AB+2AN；理由如下：

延長BA與MN延長線于點E，過B作BF∥AC交NM延長線于點F，如圖2所示：

∴∠MBF＝∠C，∠F＝∠MNC，

∵M為BC的中點，

∴BM＝CM，

在△BFM和△CNM中，

，

∴△BFM≌△CNM(AAS)，

∴BF＝CN，

∵MN∥AD，

∴，∠CAD＝∠MNC＝∠ANE，

∴∠E＝∠ANE＝∠F，

∴AE＝AN，BE＝BF，

∴BF＝AB+AN，

∴．