Question

【題目】如圖，面積為1的等腰直角△OA1A2，∠OA2A1＝90°，以OA2為斜邊在△OA1A2外部作等腰直角△OA2A3，以OA3為斜邊在△OA2A3外部作等腰直角△OA3A4，以OA4為斜邊在△OA3A4外部作等腰直角△OA4A5，…，連接A1A3，A2A4，A3A5，…分別與OA2，OA3，OA4，交于點C1，C2，C3，按此規律繼續下去，則△OAnCn的面積等于_____．(用含正整數n的式子表示)

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意做等腰直角三角形，可由第一個直角邊為1推出之后的面積及直角邊長度，A2A3的長為1，△OA2A3的面積為，A3A4的長為，△OA3A4的面積為，以此類推，AnAn+1的長為，△OAnAn+1的面積為，又可知△A1OC1∽△A3A2C1，即＝，即S△A1OC1＝S△A1OA2＝，同理可得，S△A2OC2＝S△A2OA3＝×＝，以此類推，S△AnOCn＝S△AnOAn+1＝×＝，

解：∵面積為1的等腰直角△OA1A2，∠OA2A1＝90°，

∴A1A2＝，OA1＝2，

∵以OA2為斜邊在△OA1A2外部作等腰直角△OA2A3，

∴A2A3的長為1，△OA2A3的面積為，

∵以OA3為斜邊在△OA2A3外部作等腰直角△OA3A4，

∴A3A4的長為，△OA3A4的面積為，

以此類推，AnAn+1的長為，△OAnAn+1的面積為，

∵A1O∥A2A3，

∴△A1OC1∽△A3A2C1，

∴＝，即S△A1OC1＝S△A1OA2＝，

同理可得，S△A2OC2＝S△A2OA3＝×＝，

…

以此類推，S△AnOCn＝S△AnOAn+1＝×＝，

故答案為：．