Question

【題目】在平面直角坐標系內，二次函數與一次函數（a，b為常數，且）．

（1）若y1，y2的圖象都經過點（2，3），求y1，y2的表達式；

（2）當y2經過點時，y1也過A，B兩點：

①求m的值；

②分別在y1，y2的圖象上，實數t使得“當或時，”,試求t的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①m=－2；②

【解析】

（1）點（2，3）分別代入y1=ax2+（2﹣a）x+1與一次函數y2=﹣ax+b﹣1，即可求出a與b的值；

（2）①將點A（1，3），B（m，3a+3）代入y2=﹣ax+b﹣1，即可求解；

②將點A（1，3），B（m，3a+3）代入y1=ax2+（2﹣a）x+1，結合①能確定a與b的值，進而確定函數解析式y1=2x2+1，y2=﹣2x+5，由已知得到2x02+1＞﹣2x0+5，x0＞1或x0＜﹣2，結合已知條件得到﹣t+3≤﹣2或2t﹣3≥1，進而確定t的取值范圍．

（1）點（2，3）分別代入y1=ax2+（2﹣a）x+1與一次函數y2=﹣ax+b﹣1，得到：a=﹣1，b=2，∴y1=﹣x2+3x+1，y2=x+1；

（2）①將點A（1，3），B（m，3a+3）代入y2=﹣ax+b﹣1，∴，∴m=﹣2，b﹣a=4；

②將點A（1，3），B（m，3a+3）代入y1=ax2+（2﹣a）x+1，∴，∴a=2，∴b=6，∴y1=2x2+1，y2=﹣2x+5．

∵（x0，y1），（x0，y2）分別在y1，y2的圖象上，∴y1=2x02+1，y2=﹣2x0+5．

∵y1＞y2，∴2x02+1＞﹣2x0+5，∴（x0﹣1）（x0+2）＞0，∴x0＞1或x0＜﹣2；

∵當x0＜﹣t+3或x0＞2t﹣3時，y1＞y2，∴﹣t+3≤﹣2或2t﹣3≥1，∴t≥5；

∴t的最小值是5．