Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝-x+2分別交x軸、y軸于點A、B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A、B．點P是x軸上一個動點，過點P作垂直于x軸的直線分別交拋物線和直線AB于點E和點F．設點P的橫坐標為m．

（1）點A的坐標為　 　．

（2）求這條拋物線所對應的函數表達式．

（3）點P在線段OA上時，若以B、E、F為頂點的三角形與△FPA相似，求m的值．

（4）若E、F、P三個點中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外），稱E、F、P三點為“共諧點”．直接寫出E、F、P三點成為“共諧點”時m的值．

Answer 1

【答案】（1）（4，0）（2）y＝﹣x2+x+2（3），（4）﹣1或﹣或

【解析】

（1）令y＝0，即可求出交點坐標,

（2）將A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c中,即可求出函數解析式,（3）根據分類討論,得得,即可求解,（4）根據當F為線段PE的中點時，當P為線段FE的中點時，當E為線段FP的中點時分類討論解題即可.

（1）在y＝-x+2中，令y＝0，則x＝4，

∴A（4，0）；

故答案為：（4，0）；

（2）∵在y＝-x+2中，令x＝0，則y＝2，

∴B（0，2），

把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝，

∴這條拋物線所對應的函數表達式為y＝﹣x2+x+2；

（3）∵P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），

∵且∠BFE＝∠AEP，

∴∠BEP＝∠APF＝90°或∠EBF＝∠APF＝90°，

則有BE⊥PE，

∴E點的縱坐標為2，

∴解得m＝0（舍去）或m＝，

如圖1，過點E作EC⊥y軸于點C，

則∠EBC+∠BEC＝90°，EC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，

∵∠EBF＝90°，

∴∠EBC+∠ABO＝90°，

∴∠ABO＝∠BEC，

∴Rt△ECB∽Rt△BOA，

∴,

∴,解得m＝0（舍去）或m＝，

解得，m＝，

綜上所述，以B、E、F為頂點的三角形與△FPA相似，m的值＝，

（4）由（1）知，P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），

∵E、F、P三點為“共諧點”，

∴有F為線段PE的中點、P為線段FE的中點或E為線段PF的中點，

當F為線段PE的中點時，則有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝4（三點重合，舍去）或m＝；

當P為線段FE的中點時，則有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝4（舍去）或m＝﹣1；

當E為線段FP的中點時，則有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝4（舍去）或m＝﹣；

綜上可知當E、F、P三點成為“共諧點”時m的值為﹣1或﹣或．