Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，交AB于點D，以點D為圓心，DA為半徑的圓與AB相交于點E，與CD交于點F．

（1）求證：BC是⊙D的切線；

（2）若EF∥BC，且BC＝6，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）－

【解析】

（1）過D作DG⊥BC于G，根據角平分線的性質得到DG=DA，根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）連接EF，由已知和（1）的結論可得DG⊥EF，根據垂徑定理、圓心角、弧之間的關系及等量代換可得∠CDG＝∠ADC＝∠BDG＝60°，再求出DG、CG的長，根據陰影部分的面積=△DGC的面積－扇形DGF的面積即可求解．

（1）過D作DG⊥BC于G，

∵DA⊥AC，∠ACD＝∠BCD，

∴DG＝DA，

∴BC是⊙D的切線．

（2）連接EF，

∵EF∥BC，由（1）DG⊥BC，

∴DG⊥EF，

∴，

∴∠EDG＝∠CDG．

由（1）∠ACD＝∠BCD，∠ACD＋∠ADC＝∠BCD＋∠CDG＝90°，

∴∠CDG＝∠ADC，

∴∠CDG＝∠ADC＝∠BDG＝60°．

∵EF∥BC，

∴∠DEF＝∠B， ∠DFE＝∠DCB，

在⊙D中，DE＝DF，

∴∠DFE＝∠DEF．

∴∠B＝∠DCB，

∴DB＝DC．

∵DG⊥BC，

∴CG＝BC＝3．

在Rt△DCG中，DG＝＝．

∴S陰影＝×3×－π()2＝－．