Question

【題目】我們定義：連結凸四邊形一組對邊中點的線段叫做四邊形的“準中位線”．

（1）概念理解：

如圖1，四邊形中，為的中點，，是邊上一點，滿足，試判斷是否為四邊形的準中位線，并說明理由．

（2）問題探究：

如圖2，中，，，，動點以每秒1個單位的速度，從點出發向點運動，動點以每秒6個單位的速度，從點出發沿射線運動，當點運動至點時，兩點同時停止運動．為線段上任意一點，連接并延長，射線與點構成的四邊形的兩邊分別相交于點，設運動時間為．問為何值時，為點構成的四邊形的準中位線．

（3）應用拓展：

如圖3，為四邊形的準中位線，，延長分別與，的延長線交于點，請找出圖中與相等的角并證明．

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）或或；（3），證明見解析．

【解析】

（1）證明，可得，又點F為CD中點,即可得出結論；

（2）當為點構成的四邊形的準中位線．則M、N一定是中點，再分兩種情況討論：和，根據平行線分線段成比例列方程即可求解；

（3）連接，取的中點，連接，得兩條中位線，根據中位線定理，得平行，可找到相等角和線段，從而可得是等腰三角形，進而可得．

解：（1）是四邊形的準中位線，理由如下：

∵，

∴．

又∵，，

∴，

∴，

∴．

又∵為中點，

∴為四邊形的準中位線．

（2）當為點構成的四邊形的準中位線時．

①如圖，當時，則需滿足且為中點．

∴，解得：；

②如圖，當時，則需滿足且為中點．

∴，解得：，．

綜上：當或或時，

為點構成的四邊形的準中位線．

（3）．證明如下：

如圖，連接，取的中點，連接，．

，分別是，的中點，

∴，，

∴．

∵分別是，的中點，

∴，，

∴．

∵，

∴，

∴．

∴．