Question

【題目】如圖，拋物線 經過點，與軸相交于，兩點，

（1）拋物線的函數表達式；

（2）點在拋物線的對稱軸上，且位于軸的上方，將沿沿直線翻折得到，若點恰好落在拋物線的對稱軸上，求點和點的坐標；

（3）設是拋物線上位于對稱軸右側的一點，點在拋物線的對稱軸上，當為等邊三角形時，求直線的函數表達式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標為；（3）直線的函數表達式為或.

【解析】

（1）根據待定系數法確定函數關系式即可求解；

（2）設拋物線的對稱軸與軸交于點，則點的坐標為，.

由翻折得，求出CH’的長，可得，求出DH的長，則可得D的坐標；

（3）由題意可知為等邊三角形，分兩種討論①當點在軸上方時，點在軸上方，連接，，證出，可得垂直平分，點在直線上，可求出直線的函數表達式；②當點在軸下方時，點在軸下方，同理可求出另一條直線解析式.

（1）由題意，得

解得

拋物線的函數表達式為.

（2）拋物線與軸的交點為，

，拋物線的對稱軸為直線.

設拋物線的對稱軸與軸交于點，則點的坐標為，.

上翻折得.

在中，由勾股定理，得.’

點的坐標為，.

.

由翻折得.

在中，.

點的坐標為.

（3）取（2）中的點，，連接.

，.

為等邊三角形，

分類討論如下：

①當點在軸上方時，點在軸上方.

連接，

，為等邊三角形，

，，.

，

.

,

點在拋物線的對稱軸上，

，

，

又，

垂直平分.

由翻折可知垂直平分.

點在直線上，

設直線的函數表達式為，

則解得

直線的函數表達式為.

②當點在軸下方時，點在軸下方.

，為等邊三角形，

，，.

.

.

.

，

.

.

設與軸相交于點.

在中，.

點的坐標為，

設直線的函數表達式為，

則解得

直線的函數表達式為.

綜上所述，直線的函數表達式為或.