Question

【題目】如圖所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．

（1）點P從點A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．如果P，Q分別從A，B同時出發，經過幾秒，使△PBQ的面積等于8cm2？

（2）點P從點A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．如果P，Q分別從A，B同時出發，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出運動時間；若不能說明理由．

（3）若P點沿射線AB方向從A點出發以1cm/s的速度移動，點Q沿射線CB方向從C點出發以2cm/s的速度移動，P，Q同時出發，問幾秒后，△PBQ的面積為1？

Answer 1

【答案】（1）經過2秒或4秒，△PBQ的面積等于8cm2；（2）線段PQ不能否將△ABC分成面積相等的兩部分；（3）經過（5﹣）秒，5秒，（5+ ）秒后，△PBQ的面積為1．

【解析】【試題分析】（1）設經過x秒，使△PBQ的面積等于8cm2，則PB=6-x,BQ=2x,列方程為： ，解得x1=2，x2=4，；（2）先計算△ABC的面積=×6×8=24，

設經過y秒，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分，依題意有

，變形得，y2﹣6y+12=0，則△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，即此方程無實數根，即線段PQ不能否將△ABC分成面積相等的兩部分；

（3）分類討論，三種情況：

①點P在線段AB上，點Q在線段CB上（0＜m＜4），

設經過m秒，依題意列方程得：

m2﹣10m+23=0，

解得m1=5+，m2=5﹣，

經檢驗，m1=5+不符合題意，舍去，

∴m=5﹣；

②點P在線段AB上，點Q在射線CB上（4＜n＜6），

設經過n秒，依題意有

，

解得n1=n2=5，

經檢驗，n=5符合題意．

③點P在射線AB上，點Q在射線CB上（k＞6），設經過k秒，依題意有

（k﹣6）（2k﹣8）=1，k2﹣10k+23=0，

解得k1=5+，k2=5﹣，經檢驗，k1=5﹣不符合題意，舍去，

∴k=5+；綜上所述，經過（5﹣）秒，5秒，（5+ ）秒后，△PBQ的面積為1．

【試題解析】

（1）設經過x秒，使△PBQ的面積等于8cm2，依題意有

（6﹣x）2x=8，

解得x1=2，x2=4，

經檢驗，x1，x2均符合題意．

故經過2秒或4秒，△PBQ的面積等于8cm2；

（2）設經過y秒，線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分，依題意有

△ABC的面積=×6×8=24，

（6﹣y）2y=12，

y2﹣6y+12=0，

∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，

∴此方程無實數根，

∴線段PQ不能否將△ABC分成面積相等的兩部分；

（3）①點P在線段AB上，點Q在線段CB上（0＜x＜4），

設經過m秒，依題意有

（6﹣m）（8﹣2m）=1，

m2﹣10m+23=0，

解得m1=5+，m2=5﹣，

經檢驗，m1=5+不符合題意，舍去，

∴m=5﹣；

②點P在線段AB上，點Q在射線CB上（4＜x＜6），

設經過n秒，依題意有

（6﹣n）（2n﹣8）=1，

m2﹣10n+25=0，

解得n1=n2=5，

經檢驗，n=5符合題意．

③點P在射線AB上，點Q在射線CB上（x＞6），

設經過k秒，依題意有

（k﹣6）（2k﹣8）=1，

k2﹣10k+23=0，

解得k1=5+，k2=5﹣，

經檢驗，k1=5﹣不符合題意，舍去，

∴k=5+；

綜上所述，經過（5﹣）秒，5秒，（5+ ）秒后，△PBQ的面積為1．