Question

將邊長為a的正方形ABCD與邊長為b的正方形GHEF如圖所示擺放在一起（a≥2b），連接BD，DF，FB，將正方形GHEF繞點A逆時針旋轉．在旋轉過程中△BDF的面積的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：過F作BD的垂線，設垂足為H，由于BD是定值，△BDF的面積最大，則FH最大，△BDF的面積最小，則FH最小；可據此畫出圖形，求出兩種情況下△FDH的面積，從而得到其取值范圍．

解答：
解：∵正方形ABCD的邊長為a，正方形GHEF的邊長為b，
∴BD=

2

a，AF=

2

b，
作FH⊥BD于H點，連接AF．則S_△BDF=

1

2

×BD×FH（如圖2），
因為小正方形AEFG繞A點旋轉任意角度，所以點F離線段BD的距離是變化的，即FH的長度是變化的．
由于BD得長度是定值，所以當FH取得最大值時S_△BDF最大，當FH取得最小值時S_△BDF最小．
所以當點F離BD最遠時，FH取得最大值，此時點F、A、H在同一條直線上（如圖3所示）；
當點F離BD最近時，FH取得最小值，此時點F、A、H也在同一條直線上（如圖4所示）．
在圖3中，S_△BDF=

1

2

BD×FH=

1

2

×

2

a（

2

b+

1

2

2

a）=ab+

1

2

a²，
在圖4中，S_△BDF=

1

2

BD×FH=

1

2

×

2

a（

1

2

2

a-

2

b）=

1

2

a²-ab，
∴S_△BDF的取值范圍是：

1

2

a²-ab≤S_△BDF≤

1

2

a²+ab．
故答案為

1

2

a²-ab≤S_△BDF≤

1

2

a²+ab．

點評：本題考查了旋轉的性質，關鍵是根據題意，確定旋轉中心，旋轉方向，旋轉角，利用角的和差關系求解．