Question

【題目】已知：在△ABC中AB＝AC，點D為BC邊的中點，點F是AB邊上一點，點E在線段DF的延長線上，∠BAE＝∠BDF，點M在線段DF上，∠ABE＝∠DBM．

1.如圖1，當∠ABC＝45°時，求證：AE＝MD；

2.如圖2，當∠ABC＝60°時，則線段AE、MD之間的數量關系為： ．

3.在（2）的條件下延長BM到P，使MP＝BM，連接CP，若AB＝7，AE＝，求tan∠ACP的值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）AE=2MD；（3）tan∠ACP= .

【解析】

(1）由題意知∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM故有△ABE∽△DBMAE：DM=AB：BD，而∠ABC=45°AB=BD，則有AE=MD；

（2）由于△ABE∽△DBM，相似比為2，進而確定出AE與DM的關系；
（3）由題意知得△BEP為等邊三角形，有EM⊥BP，∠BMD=∠AEB=90°，在Rt△AEB中求得AE、AB、tan∠EAB的值，由D為BC中點，M為BP中點，得DM∥PC，求得tan∠PCB的值，在Rt△ABD和Rt△NDC中，由銳角三角函數的定義求得AD、ND的值，進而求得tan∠ACP的值．

(1)證明：如圖1 連接AD

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，

又∵∠ABC=45°，

∴BD=ABcos∠ABC，即AB= BD．

∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，

∴△ABE∽△DBM

∴,

∴AE=MD．

（2）AE=2MD

如圖2，連接AD，EP，過N作NH⊥AC，垂足為H，連接NH，

∵AB=AC，∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

又∵D為BC的中點，

∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=AB，

∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，

∴△ABE∽△DBM，
∴，即AE=2DM；

（3）解：如圖2 由（2）得△ABE∽△DBM，

∴，∠AEB=∠DMB，

∴EB=2BM，

又∵BM=MP

∴EB=BP，

又∵∠EBM=∠ABC=60°，

∴△BEP為等邊三角形，

∴EM⊥BP，

∴∠BMD=90° ，

∴∠AEB=90°，

在Rt△AEB中，AE=2，AB=7，

∴=，

∵D為BC中點 M為PB中點，

∴DM//PC，

∴∠MDB=∠PCB，

∴∠EAB=∠PCB，

∴tan∠PCB=，

在RT△ABD中，AD=ABsin∠ABD=，

在RT△NDC中，ND=CDtan∠NCD ==，

∴NA=AD-ND=，

過N作NH⊥AC，垂足為H，

在RT△ANH中，NH=AH=,AH=ANcos∠NAH=，

∴CH=AC-AH=，

∴tan∠ACP==．