Question

【題目】如圖1，△ABC內接于圓，點D在劣弧上，AD＝BC，DC＝AB，Q為AC中點，點D與點P關于點Q對稱．

（1）求證：△PAD∽△ABC．

（2）求證：點B，P，D在一條直線上．

（3）如圖2，記∠PAB＝α，∠PCB＝β，∠ABC＝θ，請用含α，β的代數式表示θ．

（4）如圖3，設E，F分別為AB，BC的中點，EF交BD于點H，求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）θ＝90°﹣﹣；（4）

【解析】

（1）由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證四邊形APCD是平行四邊形，可得AP＝CD，AP∥CD，可證∠PAD＝∠B，即可證△PAD∽△ABC；

（2）由相似三角形的性質可得∠ACB＝∠ADP，又由∠ACB＝∠ADB，可得∠ADP＝∠ADB，可證點B，P，D在一條直線上；

（3）由外角性質可得∠APD+∠CPD＝∠ABP+∠BAP+∠CBP+∠PCB＝α+β+θ，由平行四邊形的性質和圓的內接四邊形的性質可得180°﹣∠ABC＝α+β+θ，即可求解；

（4）根據題意連接EP，FP，由角的數量關系可求∠EPF＝90°，通過相似三角形的判定和性質可證EH＝HF，由直角三角形的性質可求PH＝EF＝AC，即可求解．

解：（1）∵點Q為AC中點，點D與點P關于點Q對稱，

∴AQ＝QC，PQ＝QD，

∴四邊形APCD是平行四邊形，

∴AP＝CD，AP∥CD，

∴∠PAD+∠ADC＝180°，

∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，

∴∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠PAD＝∠B，

又∵，

∴△PAD∽△ABC.

（2）連接BD，如圖2，

∵△PAD∽△ABC，

∴∠ACB＝∠ADP，

∵∠ACB＝∠ADB，

∴∠ADP＝∠ADB

∴點B，P，D在一條直線上.

（3）∵∠APD＝∠ABP+∠BAP，∠CPD＝∠CBP+∠PCB，

∴∠APD+∠CPD＝∠ABP+∠BAP+∠CBP+∠PCB＝α+β+θ，

∵四邊形APCD是平行四邊形，

∴∠ADC＝∠APC＝∠APD+∠CPD，

∴180°﹣∠ABC＝α+β+θ，

∴2θ＝180°﹣α﹣β，

∴θ＝90°﹣﹣.

（4）連接EP，FP，

∵E，F分別為AB，BC的中點，

∴AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，

∵CD＝AB，CD＝AP，

∴AE＝AP，

∴∠APE＝90°﹣α，

同理可得∠CPF＝90°﹣β，

∴∠EPF＝360°﹣∠APE﹣∠CPF﹣∠APC＝180°﹣（α+β+θ），

∵θ＝90°﹣﹣，

∴∠EPF＝180°﹣（α+β+90°﹣﹣）＝90°，

∵E是AB的中點，點F是BC的中點，

∴EF∥AC，EF＝AC，

∴△BEH∽△BAQ，△BFH∽△BCQ，

∴，

∵AQ＝CQ，

∴EH＝HF，

∴PH＝EF＝AC，

∴．