Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB=4，E為BC的中點，F為AE的中點，過點F作GH⊥AE，分別交AB和CD于G，H，求GF的長，并求 的值．

Answer 1

【答案】解：作GM⊥BC垂足為M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=BC=4，∠ADC=∠=90°，
在RtABE中，∵DE=DC=2，AD=4
∴AE= =2 ，
∵AF=EF，
∴AF= ，
∵∠FAG=∠DAE，∠AFG=∠ADE=90°
∴△AFG∽△ADE
得 = ，
∴ ，
∴GF= ，
∵∠GDC=∠D=∠DCM=∠CMD=90°，
∴四邊形GMCD是矩形，
∴GM=CD=AD，∠MGD=90°，
∴∠HGM+∠AGF=90°，∠AGF+∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠GHM，
在△ADE和△GMH中，
，
∴△ADE≌△GMH，
∴HG=AE=2 ，FH=GH﹣FG= ，
∴ = ．

【解析】先在RT△ADE中求出AE，再利用△AFG∽△ADE得 = ，即可求出FG，再利用△ADE≌△GMH證明AE=GH即可求出FH即可解決問題．
【考點精析】利用勾股定理的概念和正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．