Question

【題目】已知：點A、C分別是∠B的兩條邊上的點，點D、E分別是直線BA、BC上的點，直線AE、CD相交于點P．

（1）點D、E分別在線段BA、BC上；

①若∠B＝60°（如圖1），且AD＝BE，BD＝CE，則∠APD的度數為　 　；

②若∠B＝90°（如圖2），且AD＝BC，BD＝CE，求∠APD的度數；

（2）如圖3，點D、E分別在線段AB、BC的延長線上，若∠B＝90°，AD＝BC，∠APD＝45°，求證：BD＝CE．

Answer 1

【答案】（1）①60°；②45°；（2）見解析

【解析】

（1）連結AC，由條件可以得出△ABC為等邊三角形，再由證△CBD≌△ACE就可以得出∠BCD=∠CAE，就可以得出結論；

（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，再證△DCF為等腰直角三角形，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四邊形AECF是平行四邊形，就有AE∥CF，就可以得出∠EAC=∠FCA，就可以得出結論；

（3）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，再證△DCF為等腰直角三角形，就有∠DCF=∠APD=45°，推出CF∥AE，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四邊形AFCE是平行四邊形，就有AF=CE．

（1）①如圖1，連結AC，

∵AD＝BE，BD＝CE，

∴AD+BD＝BE+CE，

∴AB＝BC．

∵∠B＝60°，

∴△ABC為等邊三角形．

∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC．

在△CBD和△ACE中

，

∴△CBD≌△ACE（SAS），

∴∠BCD＝∠CAE．

∵∠APD＝∠CAE+∠ACD，

∴∠APD＝∠BCD+∠ACD＝60°．

故答案為60°；

②如圖2，作AF⊥AB于A，使AF＝BD，連結DF，CF，

∴∠FAD＝90°．

∵∠B＝90°，

∴∠FAD＝∠B．

在△FAD和△DBC中，

，

∴△FAD≌△DBC（SAS），

∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD．

∵∠BDC+∠BCD＝90°，

∴∠ADF+∠BDC＝90°，

∴∠FDC＝90°，

∴∠FCD＝45°．

∵∠FAD＝90°，∠B＝90，

∴∠FAD+∠B＝180°，

∴AF∥BC．

∵DB＝CE，

∴AF＝CE，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴AE∥CF，

∴∠EAC＝∠FCA．

∵∠APD＝∠ACP+∠EAC，

∴∠APD＝∠ACP+∠ACE＝45°；

（2）如圖3，作AF⊥AB于A，使AF＝BD，連結DF，CF，

∴∠FAD＝90°．

∵∠ABC＝90°，

∴∠FAD＝∠DBC＝90°．

在△FAD和△DBC中，

，

∴△FAD≌△DBC（SAS），

∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD．

∵∠BDC+∠BCD＝90°，

∴∠ADF+∠BDC＝90°，

∴∠FDC＝90°，

∴∠FCD＝45°．

∵∠APD＝45°，

∴∠FCD＝∠APD，

∴CF∥AE．

∵∠FAD＝90°，∠ABC＝90，

∴∠FAD＝∠ABC，

∴AF∥BC．

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴AF＝CE，

∴CE＝BD．