Question

【題目】如圖，C是半圓O上一個動點，AB為半圓的直徑，D是弧BC的中點，過點D作半圓O的切線DE交AC的延長線于點E．

（1）求證：AE⊥DE；

（2）①已知CE=2，DE=4，則AB=　 　；

②連接OC，DC，當∠BAC=　 　度時，四邊形OBDC為菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①10；②60.

【解析】

（1）連接OD，利用切線的性質和三角形內角和解答即可；

（2）①連接OC、CD、OD，并過點D作AB邊上的垂線，垂足為H，利用全等三角形的判定和性質以及勾股定理解答即可；

②利用菱形的性質解答即可．

（1）連接OD．

∵D是弧BC的中點，∴∠EAD=∠DAB．

∵OA=OD，∴∠DAB=∠ADO．

∵∠DAB+∠B=90°，∠ADO+∠ADE=90°，∴∠EDA=∠B，∴∠EAD+∠EDA=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥DE；

（2）①如圖，連接OC、CD、OD，并過點D作AB邊上的垂線，垂足為H．

∵∠AED=∠AHD=90°，∠EAD=∠DAH，AD=AD，∴△AED≌△AHD（AAS），∴DE=DH=4．

∵D是的中點，∴CD=BD．

∵∠CED=∠BHD=90°，CD=BD，DE=DH，∴Rt△CED≌Rt△BHD（HL），∴CE=HB=2．

在Rt△OHD中，設OD=r，則OH=r﹣2，由勾股定理得：OD2﹣OH2=DH2，即r2﹣（r﹣2）2=42，解得：r=5，∴AB=2r=10；

②連接OC，DC，當∠BAC=60度時，四邊形OBDC為菱形，理由如下：

∵∠BAC=60°，OA=OC，∴△ACO是等邊三角形，∴∠DAB=30°，∴∠B=60°，∴OB=OD=DB，∴OC=OB=BD=CD，∴四邊形OBDC是菱形．