Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E為AB上一點，以AE為直徑作⊙O與BC相切于點D，連接ED并延長交AC的延長線于點F．

（1）求證：AE＝AF；

（2）若BC＝4，AC＝3，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）r＝

【解析】

（1）連接OD，根據切線的性質得到,根據平行線的判定定理得到,根據等腰三角形的性質可得到∠OED＝∠ODE，等量代換得到∠OED＝∠F，可得結論.

（2）根據相似三角形的性質和判定即可得到結論.

證明：（1）連接OD，如圖所示：

∵ BC切⊙O于點D

∴OD⊥BC

∴∠ODC＝90°，

又∵∠ACB＝90°，

∴

∴∠ODE＝∠F

∵OE＝OD，

∴∠OED＝∠ODE，

∴∠OED＝∠ F，

∴AE＝AF

（2）∵，

∴△BOD∽△BAC，

∴

∵BC＝4，AC＝3，

由勾股定理得， ,

設OA=OD=r，

則，解得:r＝．