Question

【題目】如圖1是長方體模型，棱長如圖所示，圖2是它的一種表面展開圖．

（1）①在圖2中，表示出C可能的位置；

②在圖3中畫出長方體的一種展開圖（不同于圖2）；

（2）圖1中，一只在頂點A的螞蟻，要吃到C處的甜食，求它沿長方體表面爬行的最短距離；

（3） 在滿足AB+BC+BB=9的條件下，當AB為何值時，螞蟻從A沿長方體表面爬行到C距離最短，并寫出其中的一種方案．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）最短路徑為；（3）AB=4.5時，螞蟻從A沿長方體表面爬行到C距離最短

【解析】

（1）①根據長方體的平面展開圖即可找到位置；

②根據題意畫出正確的圖形即可；

（2）連接AC′，求出AC′的長即可，分為三種情況：畫出圖形，根據勾股定理求出每種情況時AC′的長，再找出最短的即可；

（3）設AB=x，則BC′=，由勾股定理構建二次函數，根據二次函數的最值，即可求得答案．

（1）①C可能的位置如圖所示：

②長方體的一種展開圖如圖所示：

（2）分為三種情況：
如圖1，

AB=4，BC′=3+2=5，
在Rt△ABC′中，由勾股定理得：

，

如圖2，

AC=4+2=6，CC′=3，
在Rt△ACC′中，由勾股定理得：

，

如圖3，

=3+4=7，C′=2，
在′中，由勾股定理得：

，

∴最短路徑為；

（3）如圖1：

設，則BC′=，

在Rt△ABC′中，由勾股定理得：

，

d=，

令y=2(x-)+，

∵且，

∴當時，，

∴當時，．

只要AB=4.5時，另外兩棱和為4.5時，螞蟻從A沿長方體表面爬行到C距離最短．