Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=-x的圖象與反比例函數y=的圖象交于A、B兩點．

（1）求k的值；

（2）如果點P在y軸上，且滿足以點A、B、P為頂點的三角形是直角三角形，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）-1；（2）P點坐標為（0，）、（0，-）、（0，2）、（0，-2）．

【解析】

試題分析：（1）首先求出A點坐標，再把A點坐標代入y=即可得到k的值；

（2）BD⊥y軸，AC⊥y軸，如圖，設P點坐標為（0，y），先根據對稱得到B點坐標為（1，-1），再根據勾股定理得到AB2=22+22=8，PB2=PD2+BD2=（y+1）2+12，PA2=PC2+AC2=（y-1）2+12，然后分類討論：當△APB是以AB為斜邊的直角三角形，則PB2+PA2=AB2；當△APB是以PB為斜邊的直角三角形，則AB2+PA2=PB2；當△APB是以PA為斜邊的直角三角形，AB2+PB2=PA2，分別得到關于y的方程，解方程求出y的值即可得到P點坐標．

試題解析：（1）∵一次函數y=-x的圖象與反比例函數y=的圖象交于A、B兩點，

根據圖象可得出A點橫坐標為-1，代入一次函數解析式，

∴y=-（-1）=1，

∴A點坐標為：（-1，1），

∵反比例函數y=的圖象經過點A（-1，1），

∴k=-1×1=-1；

（2）作BD⊥y軸，AC⊥y軸，如圖，設P點坐標為（0，y），

∵點A與B點關于原點對稱，

∴B點坐標為（1，-1），

∴AB2=22+22=8，PB2=PD2+BD2=（y+1）2+12，PA2=PC2+AC2=（y-1）2+12，

分類：當△APB是以AB為斜邊的直角三角形，則PB2+PA2=AB2，

∴PB2+PA2=AB2，即（y+1）2+12+（y-1）2+12=8，解得y=±；

當△APB是以PB為斜邊的直角三角形，

∴AB2+PA2=PB2，即（y+1）2+12=（y-1）2+12+8，解得y=2；

當△APB是以PA為斜邊的直角三角形，

∴AB2+PB2=PA2，即（y-1）2+12=（y+1）2+12+8，解得y=-2；

∴P點坐標為（0，）、（0，-）、（0，2）、（0，-2）．