Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若y′＝，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)”．請(qǐng)問：若點(diǎn)P在函數(shù)y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點(diǎn)”Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，則實(shí)數(shù)a的值是____．

Answer 1

【答案】4.

【解析】

根據(jù)新定義，分析函數(shù)y=-x2+16在新定義下點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)”橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在分析a的取值范圍．

由定義可知：

①當(dāng)0≤x≤a時(shí)，y′＝﹣x2+16，此時(shí)，拋物線y′的開口向下，故當(dāng)0≤x≤a時(shí)，y′隨x的增大而減小（如圖）

即：﹣a2+16≤y′≤16，

②當(dāng)﹣5≤x＜0時(shí)，y′＝x2﹣16，拋物線y′的開口向上，故當(dāng)﹣5≤x＜0時(shí)，y′隨x的增大而減小（如圖），

即：﹣16＜y′≤9，

∵點(diǎn)P在函數(shù)y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點(diǎn)”Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，

∴﹣a2+16≥﹣16

∴a2≤32，

∴﹣4≤a≤4，

又∵﹣5≤x≤a，

∴a＝4，

在函數(shù)y＝﹣x2+16圖象上的點(diǎn)P，當(dāng)a＝4時(shí)，其“可控變點(diǎn)”Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是﹣16≤y′≤16，

故答案為4.