Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2﹣3ax+c的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C直線y＝﹣x+4經過點B、C．

（1）求拋物線的表達式；

（2）過點A的直線交拋物線于點M，交直線BC于點N．

①點N位于x軸上方時，是否存在這樣的點M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

②連接AC，當直線AM與直線BC的夾角∠ANB等于∠ACB的2倍時，請求出點M的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）①不存在符合條件的M點,理由見解析；②M．

【解析】

（1）由直線y＝﹣x+4知：點B、C的坐標分別為（4，0）、（0，4），則二次函數表達式為：y＝ax2﹣3ax+4，將點A的坐標代入上式，即可求解；

（2）①設點N（m，mk+k），即：mk+k＝﹣m+4①，則點，將點M的坐標代入二次函數表達式得：②，聯立①②即可求解；②當∠ANB＝2∠ACB時，則∠ANB＝90°，即可求解．

解：（1）由直線y＝﹣x+4知：點B、C的坐標分別為（4，0）、（0，4），

則二次函數表達式為：y＝ax2﹣3ax+4，將點A的坐標代入上式并解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+3x+4，

則點A（﹣1，0）；

（2）①存在，理由：

設直線AM的表達式為：y＝kx+b，

將點A的坐標代入上式并解得：

直線AM的表達式為：y＝kx+k，

如圖1所示，分別過點M、N作x軸的垂線交于點H、G，

∵AM：NM＝5：3，則MH＝NG，

設點N（m，mk+k），即：mk+k＝﹣m+4…①，

則點，

將點M的坐標代入二次函數表達式得：

②，

聯立①②并整理得：5m2﹣2m+3＝0，

△＜0，故方程無解，
故不存在符合條件的M點；

②當∠ANB＝2∠ACB時，如下圖，

則∠NAC=∠NCA，、
∴CN=AN，
直線BC的表達式為：y=-x+4
設點N（n，-n+4），
由CN=AN，
即：（n）2+（4-n-4）2=（n+1）2+（4-n）2，
解得：

則點,

將點N、A坐標代入一次函數表達式并解得：
直線NA的表達式為：

將③式與二次函數表達式聯立并解得：

故點M