Question

【題目】已知正多邊形每個內角比相鄰外角大60°．

（1）求這個正多邊形的邊數；

（2）求這個正多邊形的內切圓與外切圓的半徑之比；

（3）將這個多邊形對折，并完全重合，求得到圖形的內角和是多少度（按一層計算）？

Answer 1

【答案】（1）這個正多邊形的邊數是六；（2）這個正多邊形的內切圓和外接圓的半徑之比是 ；（3）得到圖形的內角和是360°或540°

【解析】

（1）可根據正多邊形的一個內角與外角互補可得外角的度數，用 360°除以一個外角的度數即為多邊形的邊數；

（2）從內切圓的圓心和外接圓的圓心向三角形的邊引垂線，構建直角三角形，解三角形即可；

（3）由于正六邊形有2種對稱軸，可按這兩種對稱軸分別折疊計算．

（1）設正多邊形的外角為x°，則內角為（180﹣x）°，根據題意得：

180﹣x﹣x=60

解得：x=60．

故正多邊形的外角為60°，邊數=360°÷60°=6．

答：這個正多邊形的邊數為六．

（2）設正六邊形的外接圓的半徑為r，內切圓的半徑是正六邊形的邊心距，因而是r，因而正六邊形的內切圓半徑與外接圓半徑之比為：2．

（3）當沿過兩個端點的對稱軸所在的直線折疊時，得到的圖形是四邊形，內角和是（4﹣2）×180°=360°；

當沿對邊中點所在的直線折疊時，得到的圖形是五邊形，內角和是（5﹣2）×180°=540°．

綜上所述：得到圖形的內角和是360°或540°．