Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸DE交x軸于點E，連接BD．

（1）求經過A，B，C三點的拋物線的函數表達式；
（2）點P是線段BD上一點，當PE=PC時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，過點P作PF⊥x軸于點F，G為拋物線上一動點，M為x軸上一動點，N為直線PF上一動點，當以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時，請求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

∴ ，

解得， ，

∴經過A，B，C三點的拋物線的函數表達式為y=﹣x2+2x+3

（2）

解：如圖1，連接PC、PE，

x=﹣ =﹣ =1，

當x=1時，y=4，

∴點D的坐標為（1，4），

設直線BD的解析式為：y=mx+n，

則 ，

解得， ，

∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6，

設點P的坐標為（x，﹣2x+6），

則PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

∵PC=PE，

∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，

解得，x=2，

則y=﹣2×2+6=2，

∴點P的坐標為（2，2）

（3）

解：設點M的坐標為（a，0），則點G的坐標為（a，﹣a2+2a+3），

∵以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形，

∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，

當2﹣a=﹣a2+2a+3時，

整理得，a2﹣3a﹣1=0，

解得，a= ，

當2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）時，

整理得，a2﹣a﹣5=0，

解得，a= ，

∴當以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時，點M的坐標為（ ，0），（ ，0），（ ，0），（ ，0）

【解析】（1）利用待定系數法求出過A，B，C三點的拋物線的函數表達式；（2）連接PC、PE，利用公式求出頂點D的坐標，利用待定系數法求出直線BD的解析式，設出點P的坐標為（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2 ， 根據題意列出方程，解方程求出x的值，計算求出點P的坐標；（3）設點M的坐標為（a，0），表示出點G的坐標，根據正方形的性質列出方程，解方程即可．