Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A和點B，其中點A的坐標為（2，0），拋物線的對稱軸x=-1與拋物線交于點D，與直線BC交于點E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點F是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使四邊形BOCF的面積最大，若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）平行于DE的一條動直線l與直線BC相交于點P，與拋物線相交于點Q，若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=-x2-x+4；（2）存在,F（-2，4）； （3）點P的坐標（-3，1）．

【解析】試題分析: （1）根據函數值相等的兩點關于對稱軸對稱，可得B點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得m的值，再根據自變量與函數值的對應關系，可得F點坐標；

（3）根據平行四邊形的對邊相等，可得關于m的方程，根據解方程，可得答案．

試題解析:

（1）由A、B關于對稱軸對稱，A點坐標為（2，0），得 B（-4，0）．

將A、B、C點的坐標代入函數解析式，得，

解得 ，

拋物線的解析式為y=-x2-x+4；

（2）如圖1，

，

設BC的解析式為y=kx+b，

將B、C點坐標代入函數解析式，得，

解得，

BC的解析式為y=x+4．

G在BC上，D在拋物線上，得

G（m，m+4），F（m，-m2-m+4）．

DG=-m2-m+4-（m+4）=-m2-2m．

S四邊形BOCF=S△BOC+S△BCF=BOOC+FGBO

=×4×4+×4（-m2-2m）

=8+2[-（m+2）2+2]

當m=-2時，四邊形BOCF的面積最大是12，

當m=-2時，-m2-m+4=4，即F（-2，4）；

（3）如圖2

，

當x=-1時，y=-x2-x+4=，即D（-1， ）

y=x+4=3，即E（-1，3）．

DE=-3=．

P在直線BC上，Q在拋物線上，得

P（m，m+4），Q（m，-m2-m+4）．

PQ=-m2-m+4-（m+4）=-m2-2m．

由以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，得

DE=PQ，即-m2-2m=，

解得m=-1（不符合題意，舍），m=-3．

當m=-3時，y=m+4=1，

即P（-3，1）．

以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標（-3，1）．

點睛: 本題考查了二次函數綜合題，利用函數值相等的兩點關于對稱軸對稱得出B點坐標是解題關鍵；利用面積的和差得出二次函數是解題關鍵；利用平行四邊形的對邊相等得出關于m的方程是解題關鍵．