Question

【題目】如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E，拋物線頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第三象限內，F為拋物線上一點，以A、E、F為頂點的三角形面積為3，求點F的坐標；

（3）點P從點D出發，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設運動的時間為t秒，當t為何值時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形？直接寫出所有符合條件的t值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3

（2）點F的坐標為（，）

（3）當t為秒或2秒或3秒或秒時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形。

【解析】

試題（1）先由直線AB的解析式為y=x+3，求出它與x軸的交點A、與y軸的交點B的坐標，再將A、B兩點的坐標代入y=﹣x2+bx+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式。

∵y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，

∴當y=0時，x=﹣3，即A點坐標為（﹣3，0），當x=0時，y=3，即B點坐標為（0，3）。

將A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得

，解得。

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3。

（2）設第三象限內的點F的坐標為（m，﹣m2﹣2m+3），運用配方法求出拋物線的對稱軸及頂點D的坐標，再設拋物線的對稱軸與x軸交于點G，連接FG，根據S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG=3，列出關于m的方程，解方程求出m的值，進而得出點F的坐標。

如圖1，設第三象限內的點F的坐標為（m，﹣m2﹣2m+3），

則m＜0，﹣m2﹣2m+3＜0。

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴對稱軸為直線x=﹣1，頂點D的坐標為（﹣1，4）。

設拋物線的對稱軸與x軸交于點G，連接FG，

則G（﹣1，0），AG=2。

∵直線AB的解析式為y=x+3，

∴當x=﹣1時，y=﹣1+3=2。∴E點坐標為（﹣1，2）。

∵S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG

=×2×2+×2×（m2+2m﹣3）﹣×2×（﹣1﹣m）=m2+3m，

∴以A、E、F為頂點的三角形面積為3時，m2+3m=3，

解得m1=，m2=（舍去）。

當m=時，﹣m2﹣2m+3=﹣m2﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=。

∴點F的坐標為（，）。

（3）設P點坐標為（﹣1，n），．

∵B（0，3），C（1，0），∴BC2=12+32=10。

分三種情況：

①如圖2，如果∠PBC=90°，那么PB2+BC2=PC2，

即（0+1）2+（n﹣3）2+10=（1+1）2+（n﹣0）2，

化簡整理得6n=16，解得n=。

∴P點坐標為（﹣1，）。

∵頂點D的坐標為（﹣1，4），

∴PD=4﹣=。

∵點P的速度為每秒1個單位長度，∴t1=秒。

②如圖3，如果∠BPC=90°，那么PB2+PC2=BC2，

即（0+1）2+（n﹣3）2+（1+1）2+（n﹣0）2=10，

化簡整理得n2﹣3n+2=0，解得n=2或1。

∴P點坐標為（﹣1，2）或（﹣1，1），

∵頂點D的坐標為（﹣1，4），

∴PD=4﹣2=2或PD=4﹣1=3。

∵點P的速度為每秒1個單位長度，∴t2=2秒，t3=3秒。

③如圖4，如果∠BCP=90°，那么BC2+PC2=PB2，

即10+（1+1）2+（n﹣0）2=（0+1）2+（n﹣3）2，

化簡整理得6n=﹣4，解得n=。

∴P點坐標為（﹣1，）。

∵頂點D的坐標為（﹣1，4），∴PD=4+=。

∵點P的速度為每秒1個單位長度，

∴t4=秒。

綜上所述，當t為秒或2秒或3秒或秒時，以P、B、C為頂點的三角形是直角三角形。