Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E分別在BC，AC上，且BD＝CE，AD與BE相交于點F，

(1)證明：△ABD≌△BCE；

(2)證明：△ABE∽△FAE；

(3)若AF＝7，DF＝1，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）BD＝2．

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質，利用SAS證得△ABD≌△BCE；
（2）由△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE，又∠ABC=∠BAC，可證∠ABE=∠EAF，又∠AEF=∠BEA，由此可以證明△AEF∽△BEA；
（3）由△ABD≌△BCE得：∠BAD=∠FBD，又∠BDF=∠ADB，由此可以證明△BDF∽△ADB，然后可以得到，即BD2=ADDF=（AF+DF）DF．

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，

在△ABD與△BCE中

∵，

∴△ABD≌△BCE（SAS）；

（2）由（1）得：∠BAD＝∠CBE，

又∵∠ABC＝∠BAC，

∴∠ABE＝∠EAF，

又∵∠AEF＝∠BEA，

∴△AEF∽△BEA；

（3）∵∠BAD＝∠CBE，∠BDA＝∠FDB，

∴△ABD∽△BDF，

∴，

∴BD2＝ADDF＝（AF+DF）DF＝8，

∴BD＝2．