Question

【題目】如圖1，點O在線段AB上，AO＝4，OB＝2，OC為射線，且∠BOC＝60°，動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發，沿射線OC做運動，設運動時間為t秒．

（1）當t＝1秒時，則OP＝　 　，S△ABP＝　 　；

（2）當△ABP是直角三角形時，求t的值；

（3）如圖2，當AP＝AB時，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP＝∠B，求AQBP的值．為了求AQBP的值，小華同學嘗試過O點作OE∥AP交BP于點E，試利用小華同學給我們的啟發補全圖形并求AQBP的值．

Answer 1

【答案】（1）2，3 ；（2）當△ABP是直角三角形時，t＝2或t＝；（3）補全圖形見解析，AQPB＝12．

【解析】

（1）作PD⊥AB于點D，利用三角函數求解；

（2）當△ABP是直角三角形時，分∠A＝90°、∠B＝90°、∠APB＝90°，畫出對應圖形，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半及勾股定理求解；

（3）過點O作OE∥AP，交PB于點E，構造一對相似三角形，即△OAQ∽△PEO，利用對應邊成比例求解.

（1）當t＝1秒時，OP＝2t＝2×1＝2．

如答圖1，過點P作PD⊥AB于點D．

在Rt△POD中，PD＝OPsin60°＝2×＝，

∴S△ABP＝ABPD＝×（4+2）×＝3．

故答案為：2，3．

（2）當△ABP是直角三角形時，

①若∠A＝90°．

∵∠BOC＝60°且∠BOC＞∠A，

∴∠A≠90°，故此種情形不存在；

②若∠B＝90°，如答圖2所示：

∵∠BOC＝60°，

∴∠BPO＝30°，

∴OP＝2OB＝4，又OP＝2t，

∴t＝2；

③若∠APB＝90°，如答圖3所示：

過點P作PD⊥AB于點D，則OD＝OPsin30°＝t，PD＝OPsin60°＝t，

∴AD＝OA+OD＝4+t，BD＝OB-OD＝2-t．

在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2＝AB2

∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）＝AB2，

即[（4+t）2+（t）2]+[（2-t）2+（t）2]＝62，

解方程得：t＝或t＝（負值舍去），

∴t＝．

綜上所述，當△ABP是直角三角形時，t＝2或t＝．

（3）如答圖4，過點O作OE∥AP，交PB于點E，

則有＝，

∴PE＝PB．

∵AP＝AB，

∴∠APB＝∠B，

∵OE∥AP，

∴∠OEB＝∠APB，

∴∠OEB＝∠B，

∴OE＝OB＝2，∠3+∠B＝180°．

∵AQ∥PB，

∴∠OAQ+∠B＝180°，

∴∠OAQ＝∠3；

∵∠AOP＝∠1+∠QOP＝∠2+∠B，∠QOP＝∠B，

∴∠1＝∠2；

∴△OAQ∽△PEO，

∴＝，即，

化簡得：AQPB＝12．