Question

【題目】定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．

理解：（1）如圖1，已知Rt△ABC在正方形網格中，請你只用無刻度的直尺在網格中找到一點D，使四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形（保留畫圖痕跡，找出3個即可）；

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，對角線BD平分∠ABC．求證：BD是四邊形ABCD的“相似對角線”．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據勾股定理求出AB＝，BC＝2， AC＝5，分兩種情況討論，根據相似三角形的性質即可求解；

（2）通過證明△ABD∽△DBC，可得BD是四邊形ABCD的“相似對角線”．

解：（1）如圖1，

⊕

（1）由圖1知，AB＝，BC＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，

∵四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形，

①當∠ACD＝90°時，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，

∴＝或＝2，

∴CD＝10或CD＝2.5

同理：當∠CAD＝90°時，AD＝2.5或AD＝10，

（2）證明：∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC＝40°，

∴∠A+∠ADB＝140°

∵∠ADC＝140°，

∴∠BDC+∠ADB＝140°，

∴∠A＝∠BDC，

∴△ABD∽△DBC，

∴BD是四邊形ABCD的“相似對角線”；